Lois d'échelle, fractales et ondelettes - Volume 1

Dans de nombreuses sciences, on est habitué à conduire l'étude d'un système,
d'un signal, à partir de la recherche d'échelles (d'espaces, de temps)
caractéristiques. On les utilise alors comme références, unités ou étalons
servant à exprimer toutes les autres mesures. Le physicien, par exemple,
s'appuie sur plusieurs types d'échelles de temps (la période, la taille d'une
structure, le taux de croissance d'un transitoire). Le traiteur du signal,
lui, identifie souvent une longueur de corrélation, pour utiliser comme
ingrédient essentiel dans l'analyse de données que deux échantillons (ou bloc
d'échantillons) séparés de plusieurs longueurs de corrélation peuvent être
considérés comme sans liaison statistique. La notion d'invariance d'échelle
s'appréhende comme la négation de cette démarche, comme une non-propriété :
l'absence d'échelle caractéristique. En d'autres termes, on ne peut pas
identifier dans le système ou le signal étudié des échelles jouant un rôle
spécifique : on doit considérer que toutes les échelles interviennent
simultanément.

C'est cette « non-propriété » que l'on nomme couramment phénomène d'invariance
d'échelle, comportement en loi d'échelle ou simplement loi d'échelle, sans
chercher à être plus précis, et qui est communément désignée de façon très
économique en anglais par scaling. Un renversement de perspective permet
également d'envisager l'invariance d'échelle comme la signature de l'existence
d'une organisation forte dans les données ou les systèmes. En physique, par
exemple, les propriétés d'invariance et de quantités conservées rendent
compte, de façon fondamentale, de la structure des systèmes.