Cours d'analyse.

3 - Cours d'analyse - Volume 3

L'objectif principal de ce troisième volume est de donner une introduction à la théorie des équations différentielles ordinaires et aux dérivées partielles et d'introduire certains outils de base pour les méthodes mathématiques de la physique. La première partie présente la théorie fondamentale des équations différentielles ordinaires en utilisant les méthodes analytiques classiques. La deuxième partie développe les outils de bases pour l'étude des équations aux dérivées partielles. La troisième et dernière partie concerne les équations aux dérivées partielles. Outil de travail conçu pour les étudiants en mathématiques et physique dans leurs deuxième et troisième années d'études, la richesse et la complétude de son index en font un manuel de référence pour tout mathématicien. Sommaire CONVENTIONS, NOTATIONS ET RAPPELS: Ensembles et fonctions - Nombres réels - Cardinalité - Quelques fonctions réelles - Notations topologiques - Espace Ck - Intégration - Algèbre linéaire - Conventions diverses Partie I EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES Existence et unicité des solutions: Généralités sur les équations différentielles ordinaires - Théorèmes généraux - Equations linéaires - Prolongement des solutions - Exemples - Compléments - Remarques - Exercices Equations linéaires : Systèmes linéaires généraux du premier ordre - Systèmes linéaires du premier ordre à coefficients constants - Calcul de exp(tA) - Equations linéaires d'ordre supérieur - Equations linéaires du second ordre - Solutions à l'aide des séries entières - Etude qualitative des équations différentielles linéaires du second ordre - Exercices - Compléments Partie II Analyse Hilbertienne Espaces de Hilbert: Notions fondamentales - Exemples - Espaces séparables - Systèmes orthogonaux - Séries et sommes dans un espace préhilbertien - Bases orthonormales - Approximation optimale - Compléments Développements orthogonaux: Séries de Fourrier - Convergence ponctuelle des séries de Fourrier - Exercices - Compléments et généralisations - Séries de Fourier des distributions - Exercices - Polynômes orthogonaux - Exercices - Compléments et remarques Opérateurs dans les espaces Hilbertiens: Notions fondamentales - Exemples - Opérateurs compacts - Théorie spectrale pour les opérateurs compacts symétriques - Equations intégrales - Spectre d'un opérateur borné - Exercices - Opérateurs non bornés - Spectre des opérateurs non bornés - Langage de la mécanique quantique - Remarques TRANSFORMATIONS DE FOURIER ET DE LAPLACE: Transformation de Fourier - Développements théoriques - Formule de Stirling - Distributions - Compléments - Exercices - Compléments concernant la transformation de Fourier - Transformation de Laplace - Développements théoriques -Transformée de Laplace des distributions - Applications aux équations différentielles - Exercices - Remarques complémentaires concernant la transformation de Laplace PARTI III Equations aux dérivées partielles Introduction: Généralités - Equations aux dérivées partielles linéaires du premier ordre - Equations aux dérivées partielles linéaires du second ordre - Solutions formelles - Conditions aux limites non homogènes - Exemples d'opérateurs - Appendice - Exercices - Compléments PROBLEMES ASSOCIES AU LAPLACIEN: Formules préliminaires - Fonctions harmoniques - Fonctions sous-harmoniques - Propriétés des fonctions harmoniques - Problème de Dirichlet - Valeurs propres - Equations de la chaleur - Equation des ondes - Exercices - Indications bibliographiques Réponses aux exercices