Cours d'analyse.

2 - Cours d'analyse

L'objectif principal du second volume de ce Cours d'Analyse en trois volumes est de donner une introduction à la théorie classique des fonctions holomorphes d'une variable complexe. Après une introduction aux nombres complexes et à la théorie des séries entières, on présente les fonctions holomorphes en utilisant les équations de Cauchy-Riemann et leurs développements en séries entières. Les théorèmes principaux de la théorie de Cauchy ainsi que leur utilisation pour l'étude des séries de Taylor et de Laurent sont présentés en détail. Les fonctions élémentaires (exp, cos, sin etc.) sont introduites dès le début et leurs propriétés sont développées en utilisant la théorie générale. Les propriétés principales des fonctions holomorphes (principe de module maximum, application ouverte, unicité des fonctions holomorphes, théorèmes de Weierstrass et Mittag-Leffler etc.) sont présentées et leur relation avec les fonctions harmoniques est développée. Quelques fonctions spéciales (comme gamma, zêta) sont introduites avec soin. Les applications conformes (inclus le théorème de Riemann) sont traitées en détail. Une introduction à la théorie des fractions continues complexes est donnée comme illustration de différents modes de présentation des fonctions holomorphes (comme séries, intégrales ou produits infinis). Le livre se termine avec une courte introduction rigoureuse aux surfaces de Riemann. De nombreux exercices (avec indications de leur résolution), notices historiques et bibliographiques complètent le texte. Il est conçu pour les étudiants en mathématiques et physique dans leur deuxième et troisième années d'études auprès d'une université européenne.